废怯少女

笔记｜E041倒数平方和

发布于 2026-10-11 笔记 数学 欧拉 

今天读了欧拉的 E041『De summis serierum reciprocarum』中的前半部分，很有意思，要求的数学知识并不多，但从拉丁语原文翻译过来的英语诘屈聱牙、生涩难懂。

下为笔记：

设圆的半径 ，弧 ，，。图中先取 ，于是 是弧 的正弦， 是余弦。

由 Taylor 公式可知，

下面只用正弦的式子

一般是给定 求 ，这里反过来寻找使正弦等于 的所有弧长。这样的 不止一个。

先把等式移到一边，再除以 ，使常数项成为 ：

把右边看成关于 的无穷次式，记所有根为 。

则仿照有限次多项式，「可以」（一般来说不能这么做）分解为一次因子的乘积，即

再记 、、，依此类推。先把前几个因子展开，以观察规律。两个因子相乘时，

三个因子时的情况为

可知 项的系数为 ； 项的系数是 ，即从不同的数中取两个相乘再求和； 项的系数是 ，要从不同的数中取三个，且前面有负号。

记

左边 的系数是 ，右边是 ；左边没有 项，所以 。 项右边为 ，左边为 ，故 。

先展开 的平方

因此

记

则有

求倒数平方和只需要

令 为正弦等于 的最小正弧长，半圆的弧长记为 。在一个周期内， 与 的正弦相同，加上或减去整周 后，正弦也不变。故根分成两列：

例如按 由此外取，则前面几项可列成 、、、、……

现在观察 这种特殊情况

则 ，而

所以 、、……，每个都须计算两次

前面算得 ，此时

提出，得

因此，

也就是倒数平方和中的奇数项。

令

偶数项可写为

所以奇数项之和为 ，继而得

原文：Leonhard Euler, De summis serierum reciprocarum（E041）。