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Appunti | E041 e la somma dei reciproci dei quadrati

Pubblicato il 2026-10-11 Matematica Appunti Eulero 

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Oggi ho letto la prima metà dell’E041 di Eulero, 『De summis serierum reciprocarum』. È molto interessante e non richiede molte conoscenze matematiche, anche se l’inglese tradotto dall’originale latino è contorto e difficile da seguire.

Di seguito i miei appunti:

Sia il raggio del cerchio , l’arco , e . Nella figura consideriamo dapprima : così è il seno dell’arco , mentre è il coseno.

Dalla formula di Taylor sappiamo che

Da qui in poi uso soltanto la formula del seno.

Di solito si assegna e si cerca ; qui, al contrario, cerchiamo tutte le lunghezze d’arco il cui seno è uguale a . Esiste più di un tale .

Portiamo prima tutto da una parte, poi dividiamo per in modo che il termine costante diventi :

Consideriamo il membro di destra come un’espressione in di grado infinito e chiamiamo tutte le sue radici .

Per analogia con i polinomi di grado finito, «potremmo» scomporla in un prodotto di fattori lineari (anche se, in generale, non è lecito farlo senza ulteriori giustificazioni):

Poniamo quindi , , e così via. Sviluppiamo i primi fattori per vedere lo schema. Con due fattori,

Con tre fattori,

Il coefficiente di è dunque ; quello di è , ossia la somma dei prodotti di coppie di numeri distinti; quello di è , dove si scelgono tre numeri distinti e compare un segno meno.

Scriviamo

Il coefficiente di è a sinistra e a destra. A sinistra manca il termine in , quindi . Per , il coefficiente a destra è e quello a sinistra è ; dunque .

Sviluppiamo prima il quadrato di :

perciò

Poniamo . Allora

Per trovare la somma dei reciproci dei quadrati ci serve soltanto .

Sia la minima lunghezza d’arco positiva il cui seno è e indichiamo con la lunghezza della semicirconferenza. Entro un periodo, e hanno lo stesso seno. Aggiungere o sottrarre un giro intero non lo cambia. Le radici si dividono quindi in due successioni:

Per esempio, prendendo nell’ordine , i primi termini si possono scrivere , , , , e così via.

Consideriamo ora il caso particolare .

Allora e .

Si ottengono dunque , , e così via; ciascuno va contato due volte.

Prima abbiamo trovato ; in questo caso .

Raccogliendo , otteniamo

Quindi

Questa è la somma dei termini dispari della serie dei reciproci dei quadrati.

Poniamo . I termini pari si possono scrivere

La somma dei termini dispari è dunque , da cui

Testo originale: Leonhard Euler, De summis serierum reciprocarum (E041).