废怯少女

Appunti | Introdurre un parametro in un integrale

Pubblicato il 2024-07-09 Appunti Integrali Metodi 

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Alcuni integrali sono scomodi da calcolare direttamente; introdurre un parametro può renderli più semplici. Nei miei appunti originali chiamavo questo procedimento «metodo del fattore integrante», ma qui sto in realtà derivando un integrale dipendente da un parametro, non usando il fattore integrante delle equazioni differenziali.

Consideriamo

Inseriamo nell’integrando, prendendo per ora , e poniamo

Non basta dire che derivazione e integrazione si possono scambiare per portare la derivata sotto il segno di integrale; negli appunti originali avevo lasciato incompiuto l’enunciato del teorema. Per , se limitiamo a un intervallo chiuso lontano da zero, il fattore esponenziale dà un decadimento sufficiente a giustificare la derivazione. Derivando compare , che si semplifica con al denominatore:

Quindi . Quando , sia l’integrale sia tendono a zero, perciò . Facendo tendere a zero da destra otteniamo

Quest’ultimo passaggio è un limite, non la sostituzione diretta di in una formula di derivazione dimostrata soltanto per . Va anche giustificata la convergenza dell’integrale oscillante. Nei miei appunti originali avevo sorvolato troppo in fretta su questo punto.

Lo stesso procedimento mi ha fatto pensare all’integrale di Eulero per il fattoriale. Per abbiamo

Deriviamo entrambi i membri volte rispetto a . Ogni derivata dell’integrando introduce un ulteriore fattore , quindi

ossia

Ponendo ricaviamo . Negli appunti originali il denominatore era ; l’ho corretto in . Anche qui, per derivare un integrale improprio serve un maggiorante integrabile in un intorno di ; la sola continuità uniforme su un intervallo non basta.