废怯少女

笔记｜在积分中引入参数

发布于 2024-07-09 笔记 积分 方法 

有些积分直接计算不太方便，添入一个参数，反而容易着手。我当时把它记作「积分因子法」，但这里用的其实是对含参数的积分求导，并非微分方程中的积分因子。

先看

在被积函数中添入 ，暂且令 ，记

这里不能只凭「微分与积分可以交换」一句话就把导数放进积分号；原笔记在这里写了一段未完成的定理。对 ，若把 限制在一个不触及零的闭区间内，指数因子给出足够的衰减，可以用求导法则处理。对 求导时， 会多出一个 ，恰好约掉分母的 ：

于是 。由于 时积分趋于零，而 也趋于零，所以 。让 ，便得到

最后一步是取极限，不是直接把 代入一个只对 证明过的求导公式；它还需要对这个振荡积分的收敛作出说明。这是原笔记里跳得太快的一处。

同样的想法也让我想到欧拉关于阶乘的积分。对 ，先有

两边对 求 次导数，每次被积函数都多出一个 ，所以

也就是

取 ，得到 。原笔记把分母写作 ，这里改正为 。同样，交换求导和无穷区间上的积分，需要在 的邻域中找一个可积的上界；只说函数在某个区间上一致连续并不足够。