废怯少女

笔记｜Fermat、Rolle与Lagrange定理的条件

发布于 2024-03-25 笔记 数学 定理 

先把这三个微分学定理所要求的条件摆在一起，免得只记得结论，忘记了何时能用。

Fermat 定理说，若 是函数定义域内的局部极值点，且函数在 可导，那么 。可导与「在内部」这两点都不能省。以局部极大值为例，左侧的差商非负，右侧的差商非正；若两侧极限存在且相等，就只能同为零。局部极小值的符号相反，道理一样。原笔记把这里的左右导数说成一正一负，准确地说，应先看左右差商的不等式，而不是断言导数严格异号。

Rolle 定理要求 在闭区间 连续，在开区间 可导，并且 。结论是存在 ，使 。

为什么闭区间要连续，而端点不必可导？闭区间上的连续性保证函数取得最大值和最小值。如果函数不是常数，且两个端点函数值相等，那么至少有一个极值出现在区间内部；在那里才用到 Fermat 定理。若函数是常数，开区间内的导数本就处处为零。因此可导性只需要放在 上。

Lagrange 中值定理同样要求 在 连续、在 可导，却不再要求两个端点函数值相等。它给出的结论是，存在 ，使

右边就是连接两端点的割线斜率。为了借用 Rolle 定理，可以减去这条割线，构造

于是 ；而 仍在闭区间连续、开区间可导。对 使用 Rolle 定理，得到某个 满足 ，再把 展开，就得到 Lagrange 定理的等式。这样看，它确实是 Rolle 定理的推广，而这些条件也正好随证明一同出现。