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Appunti | Le ipotesi dei teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange

Pubblicato il 2024-03-25 Matematica Appunti Teoremi 

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Voglio mettere insieme le ipotesi di questi tre teoremi del calcolo differenziale: è facile ricordare la conclusione e dimenticare quando la si può applicare.

Il teorema di Fermat dice che, se è un punto interno di estremo locale e la funzione è derivabile in , allora . Non si possono omettere né la derivabilità né il fatto che il punto sia interno. Nel caso di un massimo locale, i rapporti incrementali da sinistra sono non negativi, quelli da destra non positivi. Se i due limiti laterali esistono e coincidono, devono quindi essere entrambi nulli. Per un minimo locale i segni si invertono. Nei miei appunti originali avevo scritto che le derivate laterali avevano segni opposti; più precisamente, prima si considerano le disuguaglianze dei rapporti incrementali, senza affermare che le derivate abbiano segno strettamente opposto.

Il teorema di Rolle richiede che sia continua sull’intervallo chiuso , derivabile sull’intervallo aperto e che . Ne segue che esiste tale che .

Perché chiediamo la continuità sull’intervallo chiuso, ma non la derivabilità agli estremi? La continuità garantisce che la funzione assuma massimo e minimo. Se non è costante e i valori agli estremi coincidono, almeno uno degli estremi si trova nell’intervallo aperto, dove si può applicare Fermat. Se invece la funzione è costante, la derivata è già nulla in ogni punto interno. Basta quindi chiedere la derivabilità su .

Anche il teorema del valor medio di Lagrange richiede continuità su e derivabilità su , ma non l’uguaglianza dei valori agli estremi. Afferma che esiste per cui

Il membro di destra è la pendenza della secante che unisce gli estremi. Per usare Rolle, sottraiamo questa retta e costruiamo

Allora , mentre resta continua sull’intervallo chiuso e derivabile su quello aperto. Applicando Rolle a otteniamo un con ; sviluppando ritroviamo la formula di Lagrange. In questo senso il secondo generalizza Rolle, e le sue ipotesi emergono direttamente dalla dimostrazione.